عملگر انتگرال فوریه روی فضای کولومبو

فضای توزیع های شوارتز محیط ذاتی برای آنالیز عملگرهای دیفرانسیل خطی محسوب می شود. اما، حتی در حالت های ساده غیرخطی این نظریه کارایی خود را از دست می دهد. تا اوایل دهه ‎80‎ میلادی‏، بسیاری از ریاضی دانان بر این باور بودند که حاصل ضرب کلی برای توزیع ها نمی توان تعریف کرد، مگر آن که از خواص مهمی صرف نظر کنیم که البته قابل قبول نیست. در دهه ‎1980‎‏، ژان فرانسیس کولومبو رده ای از جبرهای دیفرانسیلی را تعریف کرد‎‎‎ که فضای توزیع های شوارتز را به صورت زیرفضای جادهی شده نشان می داد. مشتق پذیری و حاصلضرب روی این جبر، عملگرهای کلاسیکی روی توزیع ها و توابع هموار را گسترش می دهد. در واقع برای ریاضی دانان، این نظریه قصد دارد تا مبانی یک ”ابر نظریه‎“‎ از توابع بینهایت مشتق پذیر و هولومورفیک ‎را‎ فراهم کند‏، که بسیاری از خواص اساسی این توابع را داراست‎. ضرورت یک بحث جدی در مورد حاصلضرب‏، در مسایلی مانند معادلات دیفرانسیلی جزئی با ضرایب یا داده های تکین، مسایل اساسی در نظریه توزیع ها، تکینی ها در نسبیت عام و همواری میکروموضعی در معادلات دیفرانسیلی جزئی غیرخطی یا خطیِ با ضرایب ناهموار به وجود می آید. هم چنین قصد داریم توصیفی از رابطه بین مجموعه جبهه موج ِنگاره یک تابع تعمیم یافته تحت یک عملگر و هسته آن را ارائه نماییم. با مطالعه ترکیب دو عملگر انتگرال فوریه تعمیم یافته (که در شرایط اضافی نیز صدق می کنند) کار را به سرانجام می بریم‏.